Il ne faut pas nécessairement un nouvel apport.
Ca dépend de ce que tu choisis comme contrat.
 
Perso, ma première voiture, puis la seconde, je les ai prise sans apport (si j'avais un apport à mettre dans une voiture, je l'aurai acheté et non pas loué...)
Donc tu rends l'ancienne voiture, et le jour même tu repars avec la nouvelle. Tu payes le nouveau loyer (plus ou moins cher selon si tu es monté en gamme ou non)
 
Y'a juste un flottement de 1 à 3 mois entre le moment où tu fais le chèque de caution ( = 2 mois de loyer) pour la nouvelle voiture, et le moment où ils te remboursent le chèque de l'ancienne voiture (si bien sûr tu l'as rendu en bon état)